如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数y=6x的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证

Question

如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数y=(6)/(x)的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．

（1）求证：AB∥CD；
（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形OMPN是矩形，OM=6，ON=3，
∴P的坐标是（6，3）．
∵点C和D都在反比例函数y=(6)/(x)的图象上，且点C在PN上，点D在PM上，
∴点C（2，3），点D（6，1）．
又∵DB⊥y轴，CA⊥x轴，
∴A的坐标是（2，0），B的坐标是（0，1）．
∵BG=2，GD=4，CG=2，AG=1．
∴(AG)/(GC)=(1)/(2)，(BG)/(GD)=(2)/(4)=(1)/(2)，
∴(AG)/(GC)=(BG)/(GD)，
∴AB∥CD；
（2） ①∵PN∥DB，
∴当DE₁=BC时，四边形BCE₁D是等腰梯形，此时直角△CNB≌直角△E₁PD，
∴PE₁=CN=2，
∴点E1的坐标是（4，3）；
②∵CD∥AB，当E₂在直线AB上，DE₂=BC=2√(2)，四边形BCDE₂为等腰梯形，
直线AB的解析式是y=-(1)/(2)x+1，
∴设点E₂（x，-(1)/(2)x+1），DE₂=BC=2√(2)，
∴（x-6）²+（(1)/(2)x）²=8，
解得：x₁=(28)/(5)，x₂=4（舍去）．
∴E₂的坐标是（(28)/(5)，-(9)/(5)）．