如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF

Question

如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数 （k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．

（1）若S _{△ OCF} = ，求反比例函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；
（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC=x，CF=y，
∴S _{△ OCF} = xy= ，即xy=2 。∴k=2 。
∴反比例函数解析式为 （x＞0）。
（2）该圆与y轴相离，理由如下：
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，

在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
设OH=m，则 ，
∴EH= m，OE=2m。∴E坐标为（m， m），
∵E在反比例 图象上，∴ 。
∴m ₁ = ，m ₂ =- （舍去）。
∴OE=2 ，EA=4﹣2 ，EG= 。
∵4﹣2 ＜ ，∴EA＜EG。
∴以E为圆心，EA垂为半径的圆与y轴相离。
（3）存在。
假设存在点F，使AE⊥FE，
过E点作EH⊥OB于点H，设BF=x．

∵△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°。
∴BC=FB•cos∠FBC= x，FC=FB•sin∠FBC= x，
∴AF=4﹣x，OC=OB﹣BC=4﹣ x。
∵AE⊥FE，∴AE=AF•cosA=2﹣ x。
∴OE=OA﹣AE= x+2。
∴OH=OE•cos∠AOB= x+1，EH=OE•sin∠AOB= x+ 。
∴E（ x+1，  x+ ），F（4﹣ x， x）。
∵E、F都在双曲线 的图象上，
∴（ x+1）（ x+ ）=（4﹣ x）• x。解得：x ₁ =4，x ₂ = 。
当BF=4时，AF=0，BF：AF不存在，舍去。
当BF= 时，AF= ，BF：AF=1：4

试题分析：（1）设F（x，y），得到OC=x与CF=y，表示出三角形OCF的面积，求出xy的值，即为k的值，进而确定出反比例解析式。
（2）过E作EH垂直于x轴，EG垂直于y轴，设OH为m，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出EH与OE，进而表示出E的坐标，代入反比例解析式中求出m的值，确定出EG，OE，EH的长，根据EA与EG的

作业帮用户 2017-11-02

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