已知点F（1，0）和直线l：x=-1，动点P到直线l的距离等于到点F的距离．（1）求点P的轨迹C的方程（2）过点（2，0）作直线交P的轨迹C于点A，B，交l于点M，若点M的纵坐标为-3，求|AB|

Question

已知点F（1，0）和直线l：x=-1，动点P到直线l的距离等于到点F的距离．
（1）求点P的轨迹C的方程
（2）过点（2，0）作直线交P的轨迹C于点A，B，交l于点M，若点M的纵坐标为-3，求|AB|

Answer 1

（1）因为点P到点F的距离等于它到直线l的距离，
所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，
所以方程为y ² =4x；
（2）由题意，M（-1，-3），
∵直线过点（2，0），∴直线AB的方程为 (y+3)/(0+3) =(x+1)/(2+1) ，即y=x-2
与抛物线方程联立，可得x ² -8x+4=0，
设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），则x ₁ +x ₂ =8，x ₁ x ₂ =4
∴|AB|=

1+1

•

8 2 -4×4

= 4

6

．