V=1/3(S＇+√（S＇S）+S)h推一下圆台的体积公式

Question

V=1/3(S＇+√（S＇S）+S)h
推一下圆台的体积公式

Answer 1

高中阶段的台体和锥体都是直台体和直锥体.
对平面图形求面积用边长的积分可以类推求旋转体体积用面积的积分.锥体是三角形旋转而成,先说说三角形的面积求法.
直角三角形是特殊的三角形,任何非直角三角形都可以分割成两个直角三角形.
设直角三角形的高为h,底边（这种说法不严密,只为叙述方便,请紧记）长a,θ为底角（同样不严密）,S=tanθ*∫(0~a) l*dl=1/2tanθ*a^2,
其中tanθ=h/a,故有S=1/2ah
V=1/3*H*pai*R^2 是这样得来的：
设锥体有无数个半径为0~R的圆由大到小堆成
母线与底面的夹角为θ,高为H
V=tanθ*∫S=tanθ ∫(0~R)pai*r^2 dr =tanθ*1/3*pai*R^3,
其中tanθ=h/R,
故有V=1/3H*pai*R^2