老师我拉格朗日概念有点问题就解答高数老师我在问你个问题哦温度切T（x,y）=x^2+y^2-xy区域为|x|+|y|小于等于1求最热点和最冷点.多元函数极值一般要考虑内部的驻点和边界上的点吧.然

Question

老师 我拉格朗日 概念有点问题 就解答 高数
老师我在问你个问题哦 温度切T（x,y）=x^2+y^2-xy 区域为|x|+|y|小于等于1 求最热点和最冷点.
多元函数极值一般要考虑内部的驻点 和边界上的点吧 .
然后我开始做了,先求出内部驻点,然后在用x=y-1带入=x^2+y^2-xy 求出边界的可能出线极值的点.但是我遇到个情况,答案上还要考虑四个顶点,这是为什么吗,这一步不是已经“x=y-1带入=x^2+y^2-xy ” 考虑到顶点的情况了?
另外还有如果用拉格朗日做的话 是不是也要考虑四个顶点. 谢谢老师

Answer 1

你代入后要求偏导
驻点处不一定是极值.
偏导是什么?偏导是某方向上的增量；偏导能得到什么?偏导能得到某方向上的单调性,为什么二元函数（非拉格朗日）要求二阶导,就是要得出z=f（x,y）变化性质.驻点值不等于极值,驻点只是偏导数等于0的地方,而这个地方同一元函数一样,驻点不一定是极值.
而你要得最大值,最小值,就要比较驻点函数值和边界上最大值最小值,首先说了,驻点就不一定是极值了,你还要比较可能的极值点（也就是边界点）.到这了,你就知道了,你所求的偏导之后得到的只是驻点而已,而你要得最大,最小值,可想而知.你是不是还要比较边界上的最大值,最小值?比较完了,才能得到整个函数的最大,最小值.
如果用拉格朗日,还是一样,只不过此法对于多元函数很是简单,只需求一阶偏导,但是本质上还是得的驻点（也就是可能极值点）,还是要和边界比较,只是计算上简单些,对条件极值更是适用
·····私信了