在等边三角形ABC中，AB=a，O为△ABC的中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，求1OM2+1ON2的最大值和最小值．

Question

在等边三角形ABC中，AB=a，O为△ABC的中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，求(1)/(OM2)+(1)/(ON2)的最大值和最小值．

Answer 1

如图所示，建立直角坐标系．
则A(0，(√(3))/(2)a)，B(−(1)/(2)a，0)，C((1)/(2)a，0)，O(0，(√(3)a)/(6))．
可得直线AB、AC的方程分别为(x)/(−(1)/(2)a)+(y)/((√(3))/(2)a)＝1，(x)/((1)/(2)a)+(y)/((√(3))/(2)a)＝1，
分别化为−x+(y)/(√(3))＝(1)/(2)a，x+(y)/(作业帮用户2017-10-13问题解析如图所示，建立直角坐标系．可得A(0，(√(3))/(2)a)，B(−(1)/(2)a，0)，C((1)/(2)a，0)，O(0，(√(3)a)/(6))．可得直线AB、AC的方程，设直线MN的斜率为k，则y＝kx+(√(3))/(6)a．分别与直线AB、AC方程联立可得点M，N的坐标，再利用两点间的距离公式可得(1)/(OM2)+(1)/(ON2)关于k，a的表达式，利用斜率k的取值范围和反比例函数的单调性即可得出最大值和最小值名师点评本题考点：直线和圆的方程的应用．考点点评：本题考查了正三角形的中心（重心）的性质、直线相交于直线方程的问题、两点间的距离公式、反比例函数的单调性等基础知识与基本方法，属于难题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)