如图,在等边△ABC中,D是BC边上一点,△DEB为等边三角形,边CE的延长线与边AB的延长线相交于点M.边AD的延长线与边BE的延长线交于N,连接MN,求证：△BMN为等边三角形.

Question

如图,在等边△ABC中,D是BC边上一点,△DEB为等边三角形,边CE的延长线与边AB的延长线相交于点M.
边AD的延长线与边BE的延长线交于N,连接MN,求证：△BMN为等边三角形.

Answer 1

证明：因为三角形ABC是等边三角形,所以角ABC=60度,AB=AC,因为三角形DEB是等边三角形,所以角EBD=60度,BD=BE,所以三角形ABD和三角形CBE全等,所以角BAN=角BCM,因为AB=BC,角ABN=角CBM=120度,所以三角形ABN和三角形CBM全等,所以BN=BM,因为角MBN=60度,所以三角形BMN是等边三角形
∵△ABD和△CBE中,∠ABD=∠CBE=60°,AB=CB,BD=BE
∴△ABD≌△CBE
∵△ABN和△CBM中,∠ABN=60°+60°=120°,∠CBM=180°-60°=120°=∠ABN
又∵AB=BC,∠BAD=∠BCE,
∴△ABN≌△CBM,得BN=BM；
∵BN=BM ∠MBN=60
∴△BMN是等边三角形