已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,（1）G是CD于OP的交点,且PG=根号3/2PD,求△POD与△PDG的面积比（2)将三角板的直角顶点P在射线om上移动,一直角边与OB交于点D,OD=1,另一直角边与直线OA,OB分别交于点C

Question

已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,
（1）G是CD于OP的交点,且PG=根号3/2PD,求△POD与△PDG的面积比（2)将三角板的直角顶点P在射线om上移动,一直角边与OB交于点D,OD=1,另一直角边与直线OA,OB分别交于点C,E使以P,D,E为顶点的三角形与△OCD相似,求OP的长

Answer 1

（1） ①过P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为H,N,
得∠HPN=90°,∴∠HPC+∠CPN=90°.
而∠CPN+∠NPD=90°,
∴∠HPC=∠NPD.
∵OM是∠AOB的平分线,
∴PH=PN,
又∵∠PHC=∠PND=90°,
∴△PCH≌△PDN,
∴PC=PD.
②∵PC=PD,∴∠PDG=45°,
而∠POD=45°,∴∠PDG=∠POD.
又∵∠GPD=∠DPO,
∴△POD～△PDG.
∴ .
（2）若PC与边OA相交,
∵∠PDE＞∠CDO,
∴△PDE～△OCD,
∴∠CDO=∠PED,
∴CE=CD,而CO⊥ED,
∴OE=OD,
∴OP= ED=OD=1.
若PC与边OA的反向延长线相交,
过P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为H,N,
∵∠PDE＞∠EDC,
∴△PDE～△ODC,
∴∠PDE=∠ODC.
∵∠OEC＞∠PED,∴∠PDE=∠HCP.
而PH=PN,∴Rt△PHC≌Rt△PND,
∴HC=ND,PC=PD,∴∠PDC=45°,
∴∠PDO=∠PCH=22.5°,
∴OP=OC.设OP=x,则OH=ON=二分之根号二,
∴HC=DN=OD－ON=1－二分之根号二,而HC=HO+OC=二分之根号二+x,
∴1－二分之根号二=二分之根号二+x,∴x=根号二减一,即OP=根号二减一