已知AO是三角形ABC边BC的中线,求证|AB|^2+|AC|^2=2(|AO|^2+|OC|^2)^表示乘方

Question

已知AO是三角形ABC边BC的中线,求证
|AB|^2+|AC|^2=2(|AO|^2+|OC|^2)
【^表示乘方】

Answer 1

这个用余弦定理解
|AB|^2 = |AO|^2 + |OB|^2 -2 |AO||OB|cosAOB
|AC|^2 = |AO|^2 + |OC|^2 -2 |AO||OC|cosAOC
相加
|AB|^2+|AC|^2 = 2|AO|^2 + |OB|^2 + |OC|^2 -2 |AO||OB|cosAOB - 2 |AO||OC|cosAOC
(因为|OB|=|OC|)
= 2|AO|^2 + 2|OC|^2 -2 |AO||OB|cosAOB - 2 |AO||OC|cosAOC
又因为角AOB和角AOC互补,所以cosAOB和cosAOC互为相反数
-2 |AO||OB|cosAOB - 2 |AO||OC|cosAOC
=2 |AO||OB|cosAOC -2|AO||OC|cosAOC
=0
所以
|AB|^2+|AC|^2 = 2|AO|^2 + 2|OC|^2 -2 |AO||OB|cosAOB - 2 |AO||OC|cosAOC = 2|AO|^2 + 2|OC|^2