已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以AC上一点O为圆心的⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点D．（1）如图1，若⊙O与AB相切于点E，求⊙O的半径；（2）如图2，若⊙O在AB边上截得的弦FG=2315，求⊙O

Question

已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以AC上一点O为圆心的⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点D．
（1）如图1，若⊙O与AB相切于点E，求⊙O的半径；
（2）如图2，若⊙O在AB边上截得的弦FG=(2√(31))/(5)，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）连接OE，因为⊙O与AB相切于点E，所以OE⊥AB，
设OE=x，则CO=x，AO=4-x，
∵⊙O与AB相切于点E，
∴∠AEO=90°，
∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，
∴Rt△AOE∽Rt△ABC，
∴(OE)/(BC)＝(AO)/(AB)，
∴(x)/(3)＝(4−x)/(5)，
解得：x=(3)/(2)，
∴⊙O的半径为 (3)/(2)．
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则H为FG的中点，FH=(1)/(2)FG=(√(31))/(5)，

连接OF，设OF=x，则OA=4-x，
由Rt△AOH∽Rt△ABC可得OH=(12−3x)/(5)，
在Rt△OHF中，据勾股定理得：OF²=FG²+OH²，
∴x²=（ (√(31))/(5)）²+（ (12−3x)/(5)）²，
解得x₁=(7)/(4)，x₂=−(25)/(4)（舍去），
∴⊙O的半径为 (7)/(4)．