过抛物线y2=4x的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程．

Question

过抛物线y²=4x的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

设M（x，y），直线OA的斜率为k（k≠0），则直线OB的斜率为-(1)/(k)．
直线OA的方程为y=kx，由

y=kx

y2=2px

解得

x=(2p)/(k2)

y=(2p)/(k)

，即A((2p)/(k2)，(2p)/(k))，
同理可得B（2pk²，-2pk）．
由中点坐标公式，得

x=(p)/(k2)+pk2

y=(p)/(k)-pk

，消去k，得y²=p（x-2p），
此即点M的轨迹方程y²=2（x-4），