（2014•郑州一模）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．

Question

（2014•郑州一模）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=√(2)，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求直线C₁D与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

（I）证明：由题意，因为ABB₁A₁是矩形，
D为AA₁中点，AB=1，AA₁=√(2)，AD=(√(2))/(2)，
所以在直角三角形ABB₁中，tan∠AB₁B=(AB)/(BB1)，
在直角三角形ABD中，tan∠ABD=(AD)/(AB1)，
所以∠AB₁B=∠ABD，
又∠BAB₁+∠AB₁B=90°，∠BAB₁+∠ABD=90°，
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB₁，
又因为CO⊥侧面ABB₁A₁，AB₁⊂侧面ABB₁A₁，
所以CO⊥AB₁
所以，AB₁⊥面BCD，
因为BC⊂面BCD，
所以BC⊥AB₁．
（Ⅱ）如图，分别以OD，OB₁，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，-(√(3))/(3)，0），B（-(√(6))/(3)，0，0），C（0，0，(√(3))/(3)），B₁（0，(2√(3))/(3)，0），D（(√(6))/(6)，0，0），
又因为

CC1

=2

AD

，所以C1((√(6))/(3)，(2√(3))/(3)，(√(3))/(3))           
所以

AB

=（-(√(6))/(3)，(√(3))/(3)，0），

AC

=（0，(√(3))/(3)，(√(3))/(3)），

DC1

=（(√(6))/(6)，(2√(3))/(3)，(√(3))/(3)），
设平面ABC的法向量为

n

=（x，y，z），
则根据

−(√(6))/(3)x+(√(3))/(3)y＝0

(√(3))/(3)y+(√(3))/(3)z＝0

可得

n

=（1，√(2)，-√(2)）是平面ABC的一个法向量，
设直线C₁D与平面ABC所成角为α，则sinα=(|DC1•n|)/(|DC1||n|)＝(3√(55))/(55)．