已知：矩阵A=a112，B=23b−1323（Ⅰ）若a=2，求矩阵A的特征值和特征向量；（Ⅱ）若矩阵A与矩阵B为互逆矩阵，求a，b．

Question

已知：矩阵A=

a	1
1	2

，B=

(2)/(3)      b

−(1)/(3)    (2)/(3)

（Ⅰ）若a=2，求矩阵A的特征值和特征向量；
（Ⅱ）若矩阵A与矩阵B为互逆矩阵，求a，b．

Answer 1

（Ⅰ）特征多项式f（λ）=（λ-2）²-1=λ²-4λ+3，
由f（λ）=0，解得λ₁=1，λ₂=3．
将λ₁=1代入

(λ−2)x−y＝0

−x+(λ−2)y＝0

得x+y=0，令x=1，得y=-1，
则特征值λ₁=1对应的一个特征向量为

1

−1

．
当λ₂=3时，得x-y=0，特征值λ₂=3对应的一个特征向量为

1

1

．
（Ⅱ）因为AB=E，即

a	1
1	2

作业帮用户 2017-09-22 举报

问题解析

（Ⅰ）利用特征多项式，求特征值，进而可求特征向量；
（Ⅱ）若矩阵A与矩阵B为互逆矩阵，则AB=E，利用待定系数法，可求a，b．

名师点评

本题考点：

特征值与特征向量的计算；逆变换与逆矩阵．

考点点评：

本题考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．

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