已知：如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E在边AB上点，CE的垂直平分线FP分别交AD、CE、CB于点F、H、G，交AB的延长线于点P．（1）求证：△EBC∽△EHP；（2）设BE=x，BP=y，求y与x之间的函数解析式，

Question

已知：如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E在边AB上点，CE的垂直平分线FP 分别交AD、CE、CB于点F、H、G，交AB的延长线于点P．
（1）求证：△EBC∽△EHP；
（2）设BE=x，BP=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当BG＝(7)/(4)时，求BP的长．

Answer 1

（1）证明：∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，PH⊥CE，
∴∠PHE=∠CBE=90°（1分）
又∵∠BEC=∠HEP，
∴△EBC∽△EHP；
（2）在Rt△BCE中，CE²=BE²+BC²=x²+64．（1分）
∵△EBC∽△EHP，
∴(BE)/(EH)＝(CE)/(EP)．（1分）
∴BE•EP=EH•EC．
∵EH=(1)/(2)CE．
∴(1)/(2)CE2＝BE•EP．（1分）
∴(1)/(2)(x2+64)＝x(x+y)，（1分）
∴函数解析式为y＝(64−x2)/(2x)，（1分）
定义域为0＜x＜8．（1分）
（3）∵△EBC∽△EHP，
∴∠ECB=∠P，
∵∠EBC=∠GBP=90°．
∴△EBC∽△GBP．（1分）
∴(GB)/(BE)＝(BP)/(BC)．（1分）
∴GB•BC=BE•BP．
∴(7)/(4)×8＝x•(64−x2)/(2x)（1分）
∴x=±6（负值不符合题意，舍去），
∴BP=(7)/(3)．（1分）