已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点P是劣弧BC上一点（端点除外），∠APB=∠APC=60°．延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若AP过圆心O，如图①，请你判断△

Question

已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点P是劣弧BC上一点（端点除外），∠APB=∠APC=60°．延长BP至D，使BD=AP，连接CD．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由．
（3）若AP不过圆心O，如图②，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠APB=∠APC=60°，
∴∠ABC=∠APC=60°，∠ACB=∠APB=60°，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°；
∴△ABC是等边三角形；

（2）△PDC是等边三角形．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC；
又∵∠CAP=∠CBP，BD=AP，
∴△BCD≌△ACP；
∴∠APC=∠D=60°；
∵四边形ABPC内接于⊙O，
∴∠DPC=∠BAC=60°；
∴∠D=∠DPC=∠DCP=60°；
∴△PDC是等边三角形；

（3）△PDC是等边三角形，理由同（2）．