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如图1,菱形ABCD中,∠A=60°,点P从A出发,以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止,点Q从A与P同时出发,沿边AD匀速运动到D终止,设点P运动的时间为t(s).△APQ的面积S(cm2)与t(
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如图1,菱形ABCD中,∠A=60°,点P从A出发,以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止,点Q从A与P同时出发,沿边AD匀速运动到D终止,设点P运动的时间为t(s).△APQ的面积S(cm 2 )与t(s)之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出. (1)求点Q运动的速度; (2)求图2中线段FG的函数关系式; (3)问:是否存在这样的t,使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1:5的两部分?若存在,求出这样的t的值;若不存在,请说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
(1)点Q运动的速度是1cm/s;(2) ;(3)存在,t= 或t= . |
试题分析:(1)根据函数图象中E点所代表的实际意义求解.E点表示点P运动到与点B重合时的情形,运动时间为3s,可得AB=6cm;再由S △ APQ = ,可求得AQ的长度,进而得到点Q的运动速度; (2)函数图象中线段FG,表示点Q运动至终点D之后停止运动,而点P在线段CD上继续运动的情形.如答图2所示,求出S的表达式,并确定t的取值范围; (3)当点P在AB上运动时,PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分,如答图3所示,求出t的值;当点P在BC上运动时,PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分,如答图4所示,求出t的值. 试题解析:(1)由题意,可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形,所用时间为3s,则菱形的边长AB=2×3=6cm.此时如答图1所示: AQ边上的高h=AB•sin60°=6× = cm, S=S △ APQ = AQ•h= AQ×3 = ,解得AQ=3cm.∴点Q的运动速度为:3÷3=1cm/s.(2)由题意,可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形.如答图2所示: 点Q运动至点D所需时间为:6÷1=6s,点P运动至点C所需时间为12÷2=6s,至终点D所需时间为18÷2=9s. 因此在FG段内,点Q运动至点D停止运动,点P在线段CD上继续运动,且时间t的取值范围为:6≤t≤9.过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E,则PE=PD•sin60°=(18-2t)× , S=S △ APQ = AD•PE= ×6×(− + )= . ∴FG段的函数表达式为:S= (6≤t≤9). (3)菱形ABCD的面积为:6×6×sin60°=18 , 当点P在AB上运动时,PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分,如答图3所示. 此时△APQ的面积S= AQ•AP•sin60°= t•2t× = , 根据题意,得 = , 解得:t= s, 当点P在BC上运动时,PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分,如答图4所示. 此时,有S 梯形ABPQ = S 菱形ABCD ,即 (2t-6+t)×6× = ×18 , 解得t= s, 答:存在,当t= 或 时,使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1:5的两部分. |
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