在平面直角坐标系中,动点P,Q同时从原点出发,点P沿X轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,点O沿y轴正方向以每秒3个单位长度的速度运动.过点P做x轴的垂线,分别交y=x+2,y=-x+1与C,D两点,分别以OQ

Question

在平面直角坐标系中,动点P,Q同时从原点出发,点P沿X轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,点O沿y轴正方向以每秒3个单位长度的速度运动.过点P做x轴的垂线,分别交y=x+2,y=-x+1与C,D两点,分别以OQ,CD为边向又作正方形OQAB和正方形CDEF.
（1）当t为何值时,正方形OQAB与正方形CDEF的面积相等
（2）设正方形OQAB与正方形CDEF的重叠部分面积为S,求S与t的函数关系
（3）写出运动过程中使△AEF为等腰三角形的不同t值
第（3）问要具体过程

Answer 1

（1）设点P坐标为（t,0）
当xC=t时,yC=-t+1
当xD=t时,yD=t+2
∴CD=yD-yC=（t+2）-（-t+1)=2t+1
∵OQ=3t
∴当正方形OQAB与正方形CDEF的面积相等时,CD=OQ
∴2t+1=3t
解得t=1
（2）当点C在线段AQ上时,yQ=3t,yC=-t+1
∴3t=-t+1
解得t=¼
①当0＜t≤¼时,S=0
②当¼＜t≤1时,S=[（2t+1）-（t+2-3t）](3t-2t)=8t²-2t
③当t＞1时,S=（t+2）（3t-2t）=2t²+4t
（3）t有四个值,分别为½、1\3、3+√6\6、3-√6\6
设t秒的时候P的坐标为（a,0）,那么可以得出Q(0,3a).
那么A点坐标为(3a,3a).
这样把P点横坐标代入y=-x+1,y=x+2
可以得出C,D点的坐标分别是（a,-a+1）(a,a+2)
算出正方形CDEF边长CD为2a+1,那么DE=EF=CD=2a+1.
即可得出E,F点横坐标分别是a+2a+1=3a+1
分别得出完整坐标E（3a+1,a+2）,F(3a+1,-a+1)
下面进行讨论AEF为等腰三角形,那么可得AE=AF或AE=EF或AF=EF
AE=AF即AE²=AF² 根据勾股定理就可以算出（1）²+（2a-2）²=(1)²+(4a-1)²
且a>0那么可以得出a=1/2,那么就得出
同样的方法计算另两种情况分别得出a=1/3和a=(3±√6)/6
那么就可以得出t=a=1/2或者a=1/3或a=(3±√6)/6