如图1，已知正方形ABCD的边长为6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，点P为正方形ABCD边上的动点，动点P从点A出发，沿着A→B→C→D运动到D点时停止，设点P经过的路程为x，△APD的面积为y．（1

Question

如图1，已知正方形ABCD的边长为6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，点P为正方形ABCD边上的动点，动点P从点A出发，沿着A→B→C→D运动到D点时停止，设点P经过的路程为x，△APD的面积为y．

（1）如图2，当x=2时，y=___；
（2）如图3，当点P在边BC上运动时，y=___；
（3）当y=12时，求x的值；
（4）当点P在边BC上运动时，是否存在点P，使得△APD的周长最小？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图2，∵AP=x=2，AD=6，∠A=90°，
∴y=S_△APD=(1)/(2)AP•AD=6；
故答案为：6；

（2）如图3，y=S_△APD=(1)/(2)AD•AB=(1)/(2)×6×6=18；
故答案为：18；

（3） 由已知得只有当点P在边AB或边CD上运动时，y=12，
当点P在边AB上运动时，
∵S_△PAD=(1)/(2)AD•PA，
∴(1)/(2)×6×PA=12，
解得PA=4，
即x=4；
当点P在边CD上运动时，
∵S_△PAD=(1)/(2)AD×PD，
∴(1)/(2)×6×PD=12，
解得：PD=4，
∴x=AB+BC+CD=6+6+6-4=14；
综上所述，当y=12时，x=4或14；

（4） 作点A关于直线BC的对称点A₁，连接A₁D交BC于点P，则点P为所求．
∴A₁B=AB=CD=6，
∵∠PBA₁=∠PBA=90°，∠C=90°，
∴∠PBA₁=∠C，
在△A₁BP和△DCP中，

∠PBA1=∠C

∠BPA1=∠CPD

A1B=CD

，
∴△A₁BP≌△DCP（AAS），
∴PB=PC=3，
∴x=AB+PB=9．