（2012•葫芦岛一模）如图，已知AB是半圆O的直径，AB=10，点P是半圆周上一点，连接AP、BP，并延长BP至点C，使CP=BP，过点C作CE⊥AB，点E为垂足，CE交AP于点F，连接OF．（1）当∠BAP=30°时，求BP的

Question

（2012•葫芦岛一模）如图，已知AB是半圆O的直径，AB=10，点P是半圆周上一点，连接AP、BP，并延长BP至点C，使CP=BP，过点C作CE⊥AB，点E为垂足，CE交AP于点F，连接OF．
（1）当∠BAP=30°时，求

BP

的长度；
（2）当CE=8时，求线段EF的长；
（3）在点P运动过程中，点E随之运动到点A、O之间时，以点E、O、F为顶点的三角形与△BAP相似，请求出此时AE的长度．

Answer 1

（1）连接OP，

∵AB=10，
∴OB=5，
又∵∠BAP=30°，
∴∠BOP=60°，
∴

BP

=(60×π×5)/(180)＝(5π)/(3)．
（2）连接AC，

∵AB是半圆O的直径，
∴∠APB=90°，
又∵CP=BP，
∴AP是线段BC的垂直平分线，
∴AC=AB=10，
在Rt△ACE中，AE＝√(AC2−CE2)＝√(102−82)＝6，
∴BE=4，
又∵Rt△AEF∽Rt△CEB，
∴(EF)/(BE)＝(AE)/(CE)，(EF)/(4)＝(6)/(8)，
∴EF=3．
（3）若以点E、O、F为顶点的三角形与△BAP相似，则有∠EOF=∠PAB或∠EOF=∠ABP，
①当∠EOF=∠PAB时，此时△AOF为等腰三角形，点E为AO的中点，即AE=(5)/(2)；
②当∠EOF=∠ABP时，OF∥BP，
此时OE=5-AE，BE=10-AE，
∵Rt△EOF∽Rt△EBC，
∴(OE)/(EB)＝(OF)/(BC)，(5−AE)/(10−AE)＝(1)/(4)，
∴AE=(10)/(3)．