在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC相交于E，此时Rt△AEP∽Rt△ABC，点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，EP：EM=12：13．（1）如图1，当点E与点C重合时

Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC相交于E，此时Rt△AEP∽Rt△ABC，点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，EP：EM=12：13．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A，C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，BC=30，AB=50，
∴AC=√(AB2−BC2)=40，
∵EP：EM=12：13，
∴sin∠EMP=(12)/(13)，
∵CP⊥AB，
∴(AB•CP)/(2)＝(AC•BC)/(2)，
∴(30×40)/(2)＝(50×CP)/(2)，
∴CP=24，
∴CM=(CP)/(sin∠EMP)=26；
（2）∵sin∠EMP=(12)/(13)
∴设EP=12a，
则EM=13a，PM=5a，
∵EM=EN，
∴EN=13a，PN=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴(PE)/(AP)＝(BC)/(AC)，
∴(12a)/(x)＝(x)/(16)，
∴x=16a，
∴a=(x)/(16)，
∴BP=50-16a，
∴y=50-21a
=50-21×(x)/(16)
=50-(21)/(16)x，
∵当E点与A点重合时，x=0．当E点与C点重合时，x=32．
∴函数自变量取值范围是：（0＜x＜32）．