如图，在等边三角形△ABC中，AE=CD，AD、BE交于P点，BQ⊥AD于Q，（1）求证：BP=2PQ；（2）连PC，若BP⊥PC，求APPQ的值．

Question

如图，在等边三角形△ABC中，AE=CD，AD、BE交于P点，BQ⊥AD于Q，

（1）求证：BP=2PQ；
（2）连PC，若BP⊥PC，求(AP)/(PQ)的值．

Answer 1

证明：（1）在等边△ABC中，AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
在△BAE和△ACD中，

AB=CA

∠BAE=∠ACD

AE=CD

，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2PQ；
（2）∵∠ABE=∠CAD，
∴∠ABC-∠ABE=∠BAC-∠CAD，
即∠PBC=∠BAQ，
在△BAQ和△CBP中，

∠BQA=∠CPB

∠BAQ=∠CBP

AB=BC

，
∴△BAQ和△CBP（AAS），
∴AQ=BP=2PQ，
∴AP=PQ，
即(AP)/(PQ)=1．