设P为等边△ABC内一点,AP=3,BP=4,CP=5,则四边形ABCP的面积为?注意：此题本无图

Question

设P为等边△ABC内一点,AP=3,BP=4,CP=5,则四边形ABCP的面积为?
注意：此题本无图

Answer 1

∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=60°
将△BCP绕B旋转到BC和AB重合,得：△BCP≌△BAE,连接PE
∴AE=CP=5,BP=BE=4,∠CBP=∠ABE
∴∠EBP=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°
∴△BPE是等边三角形,PE=BP=4
∴AE²=5²=25,PE²+AP²=4²+3²=25
AE²=PE²+AP²
那么△AEP是直角三角形
∴S△AEP=1/2×PE×AP=1/2×4×3=6
S△BPE=1/2×BE×BE×sin60°=1/2×4×4×√3/2=4√3
∴S四边形AEBP=S△AEP+S△BPE=6+4√3
∵△BCP≌△BAE
∴S△BCP=S△ABE
∴S四边形ABCP=S△BCP+S△ABP=S△ABE+S△ABP=S四边形AEBP=6+4√3