设f(x)在x>0,上有定义,对任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)在x=1的导数值为a!=0,求f(x)

Question

设f(x)在x>0,上有定义,对任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)在x=1的导数值为a!=0,求f(x)

Answer 1

f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0,f(1)=f(x)+f(1/x) f(x)=-f(1/x)
[f(x+h)-f(x)]/h=[f(x+h)+f(1/x)]/h=f(1+h/x)/h={[f(1+h/x)-f(1)]/[h/x]}(1/x)
所以,当h→0,有
f′(x)=f′(1)/x
f(x)=f′(1)lnx+c 将f(1)=0代入得c=0
f(x)=f′(1)lnx
你的f′(1)是啥说的不清楚,你好好看看原题就知道了.
这道题目不错,即考察导数的定义,还考察微分方程.