已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn+1-an+1bn-2an+1an=0．（1）令cn=bnan，求证数列{cn}为等差数列；（2）若an=3n-1，求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

已知首项都是1的两个数列{a_n}，{b_n}(bn≠0，n∈N*)满足a_nb_n+1-a_n+1b_n-2a_n+1a_n=0．
（1）令cn=(bn)/(an)，求证数列{c_n}为等差数列；
（2）若an=3n-1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）∵a_nb_n+1-a_n+1b_n-2b_n+1b_n=0，
∴(bn+1)/(an+1)-(bn)/(an)=2．
∵c_n=(an)/(bn)，
∴c_n+1-c_n=2，
∵首项是1的两个数列{a_n}，{b_n}，
∴数列{c_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴c_n=2n-1；
（2）∵b_n=3^n-1，c_n═(an)/(bn)，
∴a_n=（2n-1）•3^n-1，
∴S_n=1×3⁰+3×3¹+…+（2n-1）×3^n-1，
∴3S_n=1×3+3×3²+…+（2n-1）×3ⁿ，
∴-2S_n=1+2•（3¹+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ，
∴S_n=（n-1）3ⁿ+1