已知数列an满足an+1=|an-1|（n∈N*），（1）若a1＝54，求an；（2）是否存在a1，n0（a1∈R，n0∈N*），使当n≥n0（n∈N*）时，an恒为常数．若存在求a1，n0，否则说明理由；（3）若a1=a∈（k，k+1），

Question

已知数列a_n满足a_n+1=|a_n-1|（n∈N^*），（1）若a1＝(5)/(4)，求a_n；
（2）是否存在a₁，n₀（a₁∈R，n₀∈N^*），使当n≥n₀（n∈N^*）时，a_n恒为常数．若存在求a₁，n₀，否则说明理由；
（3）若a₁=a∈（k，k+1），（k∈N^*），求a_n的前3k项的和S_3k（用k，a表示）

Answer 1

（1）a1＝(5)/(4)，a2＝(1)/(4)，a3＝(3)/(4)，a4＝(1)/(4)，
∴a1＝(5)/(4)，n≥2时，
an＝

(1)/(4)，n＝2k

(3)/(4)，n＝2k+1

，其中k∈N^*
（2）因为存在an+1＝|an−1|＝

an−1，an≥1

−an+1，an＜1

，
所以当a_n≥1时，a_n+1≠a_n
①若0＜a₁＜1，则a₂=1-a₁，a₃=1-a₂=a₁，此时只需：a₂=1-a₁=a₁，∴a1＝(1)/(2)
故存在a1＝(1)/(2)，an＝(1)/(2)，(n∈N*)
②若a₁=b≥1，不妨设b∈[m，m+1），m∈N^*，易知a_m+1=b-m∈[0，1），
∴a_m+2=1-a_m+1=1-（b-m）=a_m+1=b-m
∴b＝m+(1)/(2)，∴a1＝m+

作业帮用户 2017-10-15

问题解析

（1）由数列a_n满足a_n+1=|a_n-1|（n∈N^*），a1＝

(5)/(4)，我们分别求出a₂，a₃，a₄的值，分析变化的周期性规则，即可得到a_n的表达式；
（2）我们分a_n≥1时，0＜a₁＜1时，a₁=b≥1时和a₁=c＜0时，几种情况，分别进行讨论，最后将讨论结论综合，即可得到结论；
（3）当a₁=a∈（k，k+1）（k∈N^*）时，易知a₂=a-1，a₃=a-2，…，a_k=a-（k-1），利用拆项法，即可得到答案．

名师点评

本题考点：

数列递推式；数列的求和．

考点点评：

本题考查的知识点是数列递推公式及数列求和，其中正确理解数列的递推公式，并能准确的对a进行分类讨论，是解答本题的关键．

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