求解微分方程：A*v(t)+m*v'(t)=B*exp(-t/T)条件：A,B,m,T为常数,求v(t)...高数不记得了.求大侠搭救!

Question

求解微分方程：A*v(t)+m*v'(t)=B*exp(-t/T) 条件：A,B,m,T为常数,求v(t)...高数不记得了.求大侠搭救!

Answer 1

A*v(t)+m*v'(t)=B*exp(-t/T)
特征方程mr+A=0
r=-A/m
故其齐次通解为v=Ce^(-Ax/m)
当r≠-1/T时,设非齐次特解是v=de^(-t/T)
v'=-d/Te^(-t/T)
代入原方程得
A*de^(-t/T)-m*d/Te^(-t/T)=B*e^(-t/T)
Ad-md=B
d=B/(A-m)
所以特解为v=B/(A-m)*e^(-t/T)
通解为v=Ce^(-Ax/m)＋B/(A-m)*e^(-t/T)
若当r＝-1/T时,还需要再算特解呀
若当r＝-1/T时,设非齐次特解是v=dxe^(-t/T)
v'=-d/Te^(-t/T)+de^(-t/T)
代入原方程得
A*dxe^(-t/T)+m*[-d/Te^(-t/T)+de^(-t/T)]=B*e^(-t/T)
-md=B
d=-B/m
故特解是v=-B/m*xe^(-t/T)
通解为v=Ce^(-Ax/m)-B/m*xe^(-t/T)