如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=12，AD=8，矩形EFGH的边EF与BC重合，点G、H分别在AC、AB上运动，当矩形EFGH的面积最大时，EF的长是（）A.5B.6C.7D.8

Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=12，AD=8，矩形EFGH的边EF与BC重合，点G、H分别在AC、AB上运动，当矩形EFGH的面积最大时，EF的长是（　　）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

Answer 1

如图，设HG=x，KD=y，
∵四边形EFGH是矩形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∵AD是BC边上的高，
∴AK⊥HG，∠ADF=∠EFG=∠FGK=90°，
∴四边形DFGK是矩形，
∴KD=GF=y，
∴AK：AD=HG：BC，
∵BC=12，AD=8，
∴(8−y)/(8)＝(x)/(12)，
解得：y=-(2)/(3)x+8，
∴矩形EFGH的面积为：xy=x•（-(2)/(3)x+8）=-(2)/(3)（x-6）²+24，
∴当x=6，即HG=6时，内接矩形EFGH有最大面积，最大面积是24．
∴EF=GH=6．
故选B．