1.求x乘以(arctanx的平方)的积分2.1/((1-x^2)^2)的积分

Question

1.求x乘以(arctanx的平方)的积分
2.1/((1-x^2)^2)的积分

Answer 1

∫ xarctan²x dx
=(1/2)∫ arctan²x d(x²)
分部积分
=(1/2)x²arctan²x - ∫ x²arctanx/(1+x²) dx
=(1/2)x²arctan²x - ∫ (x²+1-1)arctanx/(1+x²) dx
=(1/2)x²arctan²x - ∫ arctanx dx + ∫ arctanx/(1+x²) dx
中间那个用分部积分,后面那个直接凑微分
=(1/2)x²arctan²x - xarctanx + ∫ x/(1+x²) dx + ∫ arctanx d(arctanx)
=(1/2)x²arctan²x - xarctanx + (1/2)∫ 1/(1+x²) d(x²) + ∫ arctanx d(arctanx)
=(1/2)x²arctan²x - xarctanx + (1/2)ln(1+x²) + (1/2)arctan²x + C
1/(1-x²)² = A/(1-x) + B/(1-x)² + C/(1+x) + D/(1+x)²
右边相加比较系数得：A=B=C=D=1/4
∫ 1/(1-x²)² dx
=(1/4)∫ [1/(1-x) + 1/(1-x)² + 1/(1+x) + 1/(1+x)²] dx
=(1/4)[ -ln|1-x| + 1/(1-x) + ln|1+x| - 1/(1+x) ] + C
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