（2002•黑龙江）如图，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x2-14x+4（AB+2）=0的两个根（OB＞OA），P是直线l上A、B两点之间的一动点（不与A、B重合），PQ∥

Question

（2002•黑龙江）如图，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x²-14x+4（AB+2）=0的两个根（OB＞OA），P是直线l上A、B两点之间的一动点（不与A、B重合），PQ∥OB交OA于点Q．
（1）求tan∠BAO的值；
（2）若S_△PAQ=(1)/(3)S_{四边形OQPB}时，请确定点P在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
（3）当点P在线段AB上运动时，在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵OA、OB的长分别是关于x的方程x²-14x+4（AB+2）=0的两个根，
∴OA+OB=-(b)/(a)=14，
由已知可得

OA+OB＝14

OA•OB＝4(AB+2)

，
又∵OA²+OB²=AB²，
∴（OA+OB）²-2OA•OB=AB²，
即14²-8（AB+2）=AB²，
∴AB²+8AB-180=0，
∴AB=10或AB=-18（不合题意，舍去），
∴AB=10，
∴x²-14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
∵OB＞OA，∴OA=6，OB=8，
∴tan∠BAO=(OB)/(OA)＝(4)/(3)．

（2）∵S_△PAQ=(1)/(3)S_{四边形OQPB}，
∴S_△PAQ=(1)/(4)S_△AOB，
∵PQ∥BO，
∴△PQA∽△BOA，
∴((AP)/(AB))2＝((PQ)/(BO))2＝(S△PQA)/(S△BOA)＝(1)/(4)，
∴(AP)/(AB)＝(1)/(2)．∵AB=10，
∴AP=5，
又∵tan∠BAO=(4)/(3)，
∴sin∠BAO=(4)/(5)，
∴PQ=PA•sin∠BAO=5×(4)/(5)＝4．

（3）存在，
设AB的解析式是y=kx+b，
则√(作业帮用户2016-12-14问题解析（1）根据勾股定理得出OA2+OB2=AB2，求出AB．然后把AB代入等式求出x的值继而求出OA，OB的值即可；（2）已知S△PAQ=(1)/(3)S四边形OQPB，证明△PQA∽△BOA利用线段比求出AB，AP的值．知道PQ=PA•sin∠BAO，即可求解．名师点评本题考点：一次函数综合题．考点点评：本题综合考查了一次函数的性质以及三角函数的有关知识，难度较大．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)