如图，已知在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD，AB∥CD，AD=CD，∠ABC=90°，A、B在x轴上，点D在y轴上，若tan∠OAD=43，B点的坐标为（5，0）．（1）求直线AC的解析式；（2）若点Q、P分别从点C、A同

Question

如图，已知在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD，AB∥CD，AD=CD，∠ABC=90°，A、B在x轴上，点D在y轴上，若tan∠OAD=(4)/(3)，B点的坐标为（5，0）．
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点Q、P分别从点C、A同时出发，点Q沿线段CA向点A运动，点P沿线段AB向点B运动，Q点的速度为每秒√(5)个单位长度，P点的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过P点作PQ的垂线交直线CD于点M，在P、Q运动的过程中，是否在平面内有一点N，使四边形QPMN为正方形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵tan∠OAD=(4)/(3)，且tan∠OAD=(DO)/(AO)，
∴(DO)/(AO)＝(4)/(3)．
设DO=4x，AO=3x，在Rt△AOD中，由勾股定理得：
AD=4x．
∵AD=CD，
∴CD=5x，
∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠DOB=∠ODC=∠DCB=90°，
∴四边形OBCD是矩形，
∴OB=CD=5x．
∵B（5，0），
∴OB=5，
∴5x=5，
∴x=1，
∴AO=3，DO=4，
∴A（-3，0），C（5，4）．
设直线AC的解析式为，y=kx+b，由题意得

0＝−3k+b

4＝5k+b

，
解得：

k＝(1)/(2)

b＝(3)/(2)

．
故直线AC的解析式为：y＝(1)/(2)x+(3)/(2)．

（2）∵当x=0时，y=(3)/(2)，
∴E（0，(3)/(2)），
∴OE=(3)/(2)，
∴DE=(5)/(2)．
在Rt△CDE和Rt△AOE中由勾股定理得：
CE=(5√(5))/(2)，AE=(3√(5))/(2)，
∴AC=4√(5)．
∵OA=3，OB=5，
∴AB=8，
∵BC=4，
∴tan∠BAC=(1)/(2)，sin∠BAC=(√(5))/(5)，
∴当0＜t＜(5)/(2)时，S=(2t(4√(5)−√(5)t)(√(5))/(5))/(2)-(2t×(3)/(2))/(2)，=-t²+(5)/(2)t；
当(5)/(2)＜t≤4时，S=(2t×(3)/(2))/(2)-(2t(4√(5)−√(5)t)(√(5))/(5))/(2)=t²-(5)/(2)t；
综上所述，
∴S＝

−t2+(5)/(2)t(0＜t＜(5)/(2))

t2−(5)/(2)t((5)/(2)＜t≤4)

；

（3）①如图1，作NH⊥CD与H，MG⊥AB与G，QR⊥AB与R，
∴∠MHN=∠MGP=∠PRQ=90°，
∵四边形QPMN为正方形，
∴MP=MN=PQ，∠NMP=∠MPQ=90°，
∴∠NMH=∠GMP=∠QPR，
∵在△MHN和△PRQ中，

∠MHN＝∠PRQ

∠NMH＝∠QPR

MN＝QP

，
∴△MHN≌△PRQ（AAS）．
∴NH=QR．
在△GMP和△RPQ中，

∠MGP＝∠PRQ

∠GMP＝∠QPR

MP＝PQ

∴△GMP≌△RPQ（AAS），
∴GM=RP．GP=QR．
∵GM=OD=4cm，
∴RP=4cm．
∵(AR)/(4√(5)−√(5)t)＝(4√(5))/(8)，
∴AR=8-2t，
∴PR=8-2t-2t=4，
∴t=1，
∴AR=6，AP=2，
∴PO=1，
∵(QR)/(AR)＝(1)/(2)
∴QR=3，
∴GO=4，
∴HN=3，MH=4，．
∴H、O在同一直线上，
∴N（0，7）
②如图2，作NS⊥CD于S，QH⊥AB于H，MR⊥AB于R，
∴∠NSM=∠QHP=∠PRM=90°，
∵四边形PQNM是正方形，
∴∠QPM=∠PMN=90°，PQ=PM=MN，
∴∠HPQ=∠PMR=∠NMS，
∴同①可以得出△NSM≌△QHP≌△PRM，
∴NS=QH=PR，HP=MR=SM=4，
∵(AH)/(AQ)＝(8)/(4√(5))，
∴(AH)/(4√(5)−√(5)t)＝(8)/(4√(5))，
∴AH=8-2t，
∴2t-（8-2t）=4，
∴t=3，
∴AH=2，HO=1，
∴QH=SN=1，OR=4，
∴SM=OR，
∴S在y轴上，
∴N（0，5）
综上所述，N点的坐标为：（0，7）或（0，5）