已知椭圆x2a2+y2a2−1＝1（a＞1）的左右焦点为F1，F2，抛物线C：y2=2px以F2为焦点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）设A、B是抛物线C上两动点，过点M（1，2）的直线MA，MB与y轴交于点P、Q．△MPQ

Question

已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(a2−1)＝1（a＞1）的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y²=2px以F₂为焦点．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设A、B是抛物线C上两动点，过点M（1，2）的直线MA，MB与y轴交于点P、Q．△MPQ是以MP、MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．

Answer 1

（1）由椭圆方程得半焦距c＝√(a2−(a2−1))=1，
∴椭圆焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
又抛物线C的焦点为((p)/(2)，0)，∴(p)/(2)＝1，解得p=2，∴抛物线C的标准方程为：y²=4x．
（2）直线AB的斜率为定值-1．
证明如下：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵M（1，2），A、B在抛物线y²=4x上，∴

y

2 1

＝4x1  ①

y

2 2

＝4x2  ②

22＝4×1  ③

由①-③得，kMA＝(y1−2)/(x1−1)＝(4)/(y1+2)   ④
由②-③得，kMB＝(y2−2)/(x2−1)＝(4)/(y2+2)   ⑤
∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB
由k_MA=-k_MB得

(y1−2)/(x1−1)＝−(4)/(y2+2)

(y2−2)/(x2−1)＝−(4)/(y1+2)

化简整理，
得

y1y2−2y2+2y1−4＝−4x1+4

y1y2−2y1+2y2−4＝−4x2+4

上两式相减得：4（y₁-y₂）=-4（x₁-x₂），∴k＝(y1−y2)/(x1−x2)=(−4)/(4)＝−1为定值．
解法二：设A((y12)/(4) ， y1)，B((y22)/(4) ， y2)，
则kAM＝(y1−2)/((y12)/(4)−1)=(4)/(y1+2)，kBM＝(4)/(y2+2)，
∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB
即(4)/(y1+2)+(4)/(y2+2)＝0
∴(y1+y2+4)/((y1+2)(y2+2))＝0
由y₁+y₂+4=0得 y₁+y₂=-4．
∴kAB＝(y2−y1)/((y22)/(4)−(y12)/(4))=(4(y2−y1))/(y22−y12)=(4)/(y1+y2)=(4)/(−4)=-1．
∴直线AB的斜率为定值-1．