如图所示，四边形MNPQ为圆内接四边形，对角线MP与NQ相交于点S，R为MN与QP延长线的交点，且MN=NP，∠MPQ=60°，△MPR为等腰三角形．（Ⅰ）求∠PQM的大小；（Ⅱ）若MN=3，求QM的长．

Question

如图所示，四边形MNPQ为圆内接四边形，对角线MP与NQ相交于点S，R为MN与QP延长线的交点，且MN=NP，∠MPQ=60°，△MPR为等腰三角形．

（Ⅰ）求∠PQM的大小；
（Ⅱ）若MN=3，求QM的长．

Answer 1

（Ⅰ）∵MN=NP，∴∠NMP=∠NPM，
∵△MPR为等腰三角形，PM=PR，∴∠NMP=∠R
∵∠MPQ=60°，
∴∠PMR=∠R=30°，
∴∠PQM=∠MQN+∠NQP=∠MPN+∠NMP=60°；
（Ⅱ）∵MN=NP，
∴∠NPM=30°，
∵∠MPQ=60°，∴∠NPQ=90°，
∴PQ=3tan60°=3√(3)
∵MN=3，
∴MP=2×3×(√(3))/(2)=3√(3)，
∵∠MPQ=60°，
∴QM=3√(3)．