如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB=3，∠BAD=45°，按下列步骤裁剪和拼图．第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD

Question

如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB=3，∠BAD=45°，按下列步骤裁剪和拼图．

第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；
第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；
第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）．
则由纸片拼成的五边形PMQRN中，BD=___，对角线MN长度的最小值为___．

Answer 1

∵△ABE≌△CDF≌△PMQ，
∴AE=DF=PM，∠EAB=∠FDC=∠MPQ，
∵△ADE≌△BCG≌△PNR，
∴AE=BG=PN，∠DAE=∠CBG=∠RPN，
∴PM=PN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
∴∠MPN=90°，
∴△MPN是等腰直角三角形，
当PM最小时，对角线MN最小，即AE取最小值，
∴当AE⊥BD时，AE取最小值，
过D作DF⊥AB于F，
∵平行四边形ABCD的面积为6，AB=3，
∴DF=2，
∵∠DAB=45°，
∴AF=DF=2，
∴BF=1，
∴BD=√(DF2+BF2)=√(5)，
∴AE=(DF•AB)/(BD)=(2×3)/(√(5))=(6√(5))/(5)，
∴MN=√(2)AE=(6√(10))/(5)．
故答案为：√(5)，(6√(10))/(5)．