（2012•房山区二模）已知定点M（1，2），点P和Q分别是在直线l：y=x-1和y轴上动点，则当△MPQ的周长最小值时，△MPQ的面积是（）A．45B．56C．1D．235

Question

（2012•房山区二模）已知定点M（1，2），点P和Q分别是在直线l：y=x-1和y轴上动点，则当△MPQ的周长最小值时，△MPQ的面积是（　　）

A．(4)/(5)
B．(5)/(6)
C．1
D．(2√(3))/(5)

Answer 1

作出M关于y轴的对称点M₁，关于y=x-1的对称点M₂，连接M₁M₂，与y轴交于Q点，与y=x-1交于P点，连接MQ，MP，此时△MPQ的周长最小，
此时M₁（-1，2），
∵直线MM₂与y=x-1垂直，且y=x-1的斜率为1，
∴设直线MM₂解析式为y=-x+b，
将M（1，2）代入得：2=-1+b，即b=3，
∴直线MM₂解析式为y=-x+3，
与y=x-1联立得到A（2，1），
∴M₂（3，0），
∴直线M₁M₂解析式为y-2=-(1)/(2)（x+1），即x+2y-3=0，
令x=0，得到y=(3)/(2)，即Q（0，(3)/(2)），
联立直线M₁M₂解析式与y=x-1求得P（(5)/(3)，(2)/(3)），
∵M到直线M₁M₂的距离d=(1+4−3)/(√(5))=(2√(5))/(5)，|PQ|=√((0−(5)/(3))2+((3)/(2)−(2)/(3))2)=(5√(5))/(6)，
则S_△MPQ=(1)/(2)|PQ|•d=(1)/(2)×(2√(5))/(5)×(5√(5))/(6)=(5)/(6)．
故选B