导数的定义△y/△x=f(x0+△x)-f(x0)/△x,当△x趋于零的时候,会无限趋近于常数A.要是把△x趋近于0放到△y/△x=f(x0+△x)-f(x0)/△x这个式子中,那那个常数不就是0了?但是随便举个函数代进去

Question

导数的定义△y /△x= f(x0 + △x) - f(x0)/△x,当△x趋于零的时候,会无限趋近于常数A.
要是把△x趋近于0放到△y /△x= f(x0 + △x) - f(x0)/△x这个式子中,那那个常数不就是0了?但是随便举个函数代进去算又能算出常数A不是0.
（感觉自己问得有点傻,但还是不懂啊,）

Answer 1

导数的定义是
lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx = ƒ'(x₀)
这个极限的结果可能是个常数(线性方程),亦可能依然是个函数(曲线方程)
当你把Δx = 0代入时,别只记得把分子部分ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)变为ƒ(x₀) - ƒ(x₀) = 0
还要考虑分母的Δx部分,也同样地趋向0,所以这个分式就是不定式0/0了,但分母不能是0的
所以高数部分亦有个叫洛必达法则的东西,用作对付0/0型或∞/∞型等极限算式
所以lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx,0/0型
= lim(Δx→0) [ƒ'(x₀ + Δx) - 0]/1,分子和分母分别对Δx求导,分子上的ƒ(x₀)是常数
= lim(Δx→0) ƒ'(x₀ + Δx)
= ƒ'(x₀ + 0)
= ƒ'(x₀),正好是导数定义
所以在未熟练导数定义运算之前千万别随意变化定理.