凸函数在凸性区间上一定可导吗?请高手给个证明凸函数一定有二阶导数？

Question

凸函数在凸性区间上一定可导吗?请高手给个证明
凸函数一定有二阶导数？

Answer 1

根据一般定义:
若函数图形上任意两点的连线段必在函数图形的上方(下方),则称该函数为凸函数(凹函数).
数学表达式定义为：
函数f(X),对任意不相等的X1,X2∈〔a,b〕,以及λ∈（0,1）,有
f[λX1+(1-λ)X2]≤λf(X1)+(1-λ)f(X2)
则f(x)称作凸函数.
从上述定义不能推断凸函数在凸性区间是否可导,从而凸函数也不一定有二阶导数.
举一个不可导的例子：
一个区间内,图形为向下凸折线段的函数,折线段上任意两点的连线段在该段函数图形上方,极端情形是该函数某两点连线正好与函数图形上某一线段重合（即上述不等式中的等号成立）,根据定义,它是凸函数,可它不可导（但是连续,没有间断点）,也没有二阶导数.