已知四边形ABCD，四边形DEFG都是正方形，H是BF中点，I是AG中点，求证：AG=2HI．

Question

已知四边形ABCD，四边形DEFG都是正方形，H是BF中点，I是AG中点，求证：AG=2HI．

Answer 1

证明：连接GH并延长至K，令GH=HK，延长EF交AB于M，连接AK，BK，
在△FGH和△BKH中
∵

GH=HK

∠GHF=∠KHB

HF=HB

，
∴△FGH≌△BKH（SAS），
∴∠GFH=∠KBH，FG=BK=DG，
设∠MFB=α，∠FBM=β，
∴∠EMA=∠MFB+∠FBM=α+β，
∵∠DEM=∠DAB=90°，
∴∠EMA=∠EDA=α+β，
∴∠ADG=90°-∠EDA=90°-α-β，
∵∠GFM=90°，∴∠GFH=90°-α=∠KBH，
∴∠ABK=∠KBH-∠FBM=90°-α-β=∠ADG，
在△ADG和△ABK中
∵

AD=AB

∠ADG=∠ABK

DG=BK

，
∴△ADG≌△ABK（SAS），
∴AG=AK，
∵I为AG中点，H为GK中点，由中位线可知：IH=(1)/(2)AK=(1)/(2)AG，
∴AG=2HI．