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如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(1)证明EM⊥BF;(2)请在图中作出平面ABC与平面BEF的交线(不要求证明)(3)求平面BEF
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如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.

(1)证明EM⊥BF;
(2)请在图中作出平面ABC与平面BEF的交线(不要求证明)
(3)求平面BEF和平面ABC所成的锐二面角的正切值.

(1)证明EM⊥BF;
(2)请在图中作出平面ABC与平面BEF的交线(不要求证明)
(3)求平面BEF和平面ABC所成的锐二面角的正切值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵EA⊥平面ABC,BM⊂平面ABC,∴EA⊥BM.
又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,∴BM⊥平面ACFE,
而EM⊂平面ACFE,∴BM⊥EM.
∵AC是圆O的直径,∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°,AC=4,
∴AB=2
,BC=2,AM=3,CM=1.
∵EA⊥平面ABC,FC∥EA,
=
,
∴FC⊥平面ABC.∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形.
∴∠EMA=∠FMC=45°.∴∠EMF=90°,即EM⊥MF,
∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面MBF.
而BF⊂平面MBF,∴EM⊥BF.
(2)延长EF交AC于G,连BG,则BG即为平面ABC与平面BEF的交线.
(3)过C作CH⊥BG,连接FH.
由(1)知FC⊥平面ABC,BG⊂平面ABC,∴FC⊥BG.
而FC∩CH=C,∴BG⊥平面FCH.
∵FH⊂平面FCH,∴FH⊥BG,
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角.
在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AC=4,
∴BM=AB•sin30°=
,
由
=
=
,得GC=2.
∵BG=
=2
,
又∵△GCH∽△GBM,
∴
=
,则CH=
=
=1.
∴△FCH是等腰直角三角形,∠FHC=45°,
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为

又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,∴BM⊥平面ACFE,
而EM⊂平面ACFE,∴BM⊥EM.
∵AC是圆O的直径,∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°,AC=4,
∴AB=2
3 |
∵EA⊥平面ABC,FC∥EA,
FC |
EA |
1 |
3 |
∴FC⊥平面ABC.∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形.
∴∠EMA=∠FMC=45°.∴∠EMF=90°,即EM⊥MF,
∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面MBF.
而BF⊂平面MBF,∴EM⊥BF.
(2)延长EF交AC于G,连BG,则BG即为平面ABC与平面BEF的交线.
(3)过C作CH⊥BG,连接FH.
由(1)知FC⊥平面ABC,BG⊂平面ABC,∴FC⊥BG.
而FC∩CH=C,∴BG⊥平面FCH.
∵FH⊂平面FCH,∴FH⊥BG,
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角.
在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AC=4,
∴BM=AB•sin30°=
3 |
由
FC |
EA |
GC |
GA |
1 |
3 |
∵BG=
BM2+MG2 |
3 |
又∵△GCH∽△GBM,
∴
GC |
BG |
CH |
BM |
GC•BM |
BG |
2•
| ||
2
|
∴△FCH是等腰直角三角形,∠FHC=45°,
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
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