高中数学几何请证明下面几个结论!希望可以快些,谢谢!1三棱锥中P-ABC中三个侧面与底面所成的角都相等,O为P在ABC上的投影,则O为三角形ABC的内心2若三棱锥相对的棱互相垂直,则O为ABC的垂心3

Question

高中数学几何
请证明下面几个结论!希望可以快些,谢谢!
1 三棱锥中P-ABC中三个侧面与底面所成的角都相等,O为P在ABC上的投影,则O为三角形ABC的内心
2 若三棱锥相对的棱互相垂直,则O为ABC的垂心
3若三棱锥三条侧棱两两相互垂直,则O为ABC的重心.

Answer 1

1.由O向AB、BC、AC分别做垂线OX,OY,OZ交于X、Y、Z,以AB边为例,
AB垂直OP AB垂直OX,所以AB垂直PX,因此侧面与底面成角为∠PXO
OX=cot∠PXO*OP OY=cot∠PXO*OP OZ=cot∠PZO*OP
OX=OY=OZ O为内心
2 以AB边为例,PA⊥BC OP⊥BC 所以 OA⊥BC 同理有 OB⊥AC OC⊥AB
O为垂心
命题3有误,三条侧棱两两相互垂直可推出相对的棱互相垂直,O为垂心