点A、B分别交两条平行线m、n上任意两点，在直线n上取点C，使BC=kAB，连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F．（1）如图1，当k=1时，线段EF与BE的数量关系是．（2）

Question

点A、B分别交两条平行线m、n上任意两点，在直线n上取点C，使BC=kAB，连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F．
（1）如图1，当k=1时，线段EF与BE的数量关系是______．
（2）如图2，当k=1时，且∠ABC=90°，则线段EF与BE的数量关系是______．
（3）如图3，若∠ABC=90°，k≠1，问线段EF与BE有何数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图1，以E为圆心，以EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM．
∴EM=EA，
∴∠EMA=∠EAM． 
∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB． 
∴∠CAB=∠ACB． 
∵m∥n，
∴∠MAC=∠ACB，∠FAB=∠ABC．
∴∠MAC=∠CAB． 
∴∠CAB=∠EMA． 
∵∠BEF=∠ABC，
∴∠BEF=∠FAB． 
∵∠AHF=∠EHB，
∴∠AFE=∠ABE． 
在△AEB和△MEF中，

∠CAB＝∠EMA

∠ABE＝∠AFE

EA＝EM

∴△AEB≌△MEF（AAS）． 
∴EF=EB；
（2）证明：如图2，在直线m上截取AM=AB，连接ME．
∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB．
∵∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵m∥n，
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°，∠FAB=90°．
∵AE=AE，
∴△MAE≌△ABE． 
∴EM=EB，∠AME=∠ABE． 
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠FAB+∠BEF=180°．
∴∠ABE+∠EFA=180°，
又∵∠AME+∠EMF=180°，
∴∠EMF=∠EFA． 
∴EM=EF．
∴EF=EB． 
（3）如图3，过点E作EM⊥m、EN⊥AB，垂足为M、N．
∴∠EMF=∠ENA=∠ENB=90°．
∵m∥n，∠ABC=90°，
∴∠MAB=90°． 
∴四边形MENA为矩形．
∴ME=NA，∠MEN=90°．
∵∠BEF=∠ABC=90°．
∴∠MEF=∠NEB． 
∴△MEF∽△NEB． 
∴(ME)/(EN)=(EF)/(EB)，
∴(AN)/(EN)=(EF)/(EB)．
在Rt△ANE和Rt△ABC中，tan∠BAC=(EN)/(AN)=(BC)/(AB)=k，
∴(EB)/(EF)=k，
∴EF=(1)/(k)EB．