已知：在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D，求证：（1）MA2=MD•ME；（2）AE2AD2=MEMD．

Question

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D，求证：

（1）MA²=MD•ME；
（2）(AE2)/(AD2)=(ME)/(MD)．

Answer 1

证明：（1）∵DM⊥BC，
∴∠BMD=90°，
∴∠B+∠D=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠D=∠C．
∵M是BC的中点，
∴AM=MC=(1)/(2)BC，
∴∠MAE=∠C．
∴∠MAE=∠D．
∵∠AME=∠AMD，
∴△EMA∽△AMD，
∴(MA)/(MD)＝(EM)/(MA)，
∴MA²=MD•ME；
（2）∵△EMA∽△AMD，
∴(AE)/(AD)＝(EM)/(AM)＝(AM)/(MD)，
∴(AE)/(AD)＝(EM)/(AM)，(AE)/(AD)＝(AM)/(MD)，
∴(AE)/(AD)•(AE)/(AD)＝(EM)/(AM)•(AM)/(MD)，
∴(AE2)/(AD2)＝(ME)/(MD)．