如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=2．（Ⅰ）证明：AC⊥平面BCDE；（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．

Question

如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=√(2)．
（Ⅰ）证明：AC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）如图所示，取DC的中点F，连接BF，则DF=(1)/(2)DC=1=BE，
∵∠CDE=∠BED=90°，∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是矩形，
∴BF⊥DC，BF=ED=1，
在Rt△BCF中，BC=√(BF2+CF2)=√(12+12)＝√(2)．
在△ACB中，∵AB=2，BC=AC=√(2)，
∴BC²+AC²=AB²，
∴AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，∴AC⊥平面BCDE．
（Ⅱ）过点E作EM⊥CB交CB的延长线于点M，连接AM．
又平面ABC⊥平面BCDE，∴EM⊥平面ACB．
∴∠EAM是直线AE与平面ABC所成的角．
在Rt△BEM中，EB=1，∠EBM=45°．
∴EM=(√(2))/(2)=MB．
在Rt△ACM中，AM＝√(CM2+AC2)=√((√(2)+(√(2))/(2))2+(√(2))2)=(√(26))/(2)．
在Rt△AEM中，tan∠EAM＝(EM)/(AM)=((√(2))/(2))/((√(26))/(2))=(√(13))/(13)．