（2014•夹江县二模）在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．设AM=x．（1）用含x的代数式表示△M

Question

（2014•夹江县二模）在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．设AM=x．
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少．

Answer 1

（1）∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴(AM)/(AB)=(AN)/(AC)，即(x)/(8)=(AN)/(6)，解得AN=(3)/(4)x，
∴△AMN的面积=(1)/(2)•x•(3)/(4)x=(3)/(8)x²，
∵四边形AMPN是矩形，
∴S=(1)/(2)•x•(3)/(4)x=(3)/(8)x²（0＜x≤8）；

（2）若P点在BC上时，
∵四边形AMPN是矩形，
∴O点为AP的中点，
而MN∥BC，
∴MN为△ABC的中位线，此时AM=4，
当0＜x≤4时，y=S=(1)/(2)•x•(3)/(4)x=(3)/(8)x²，此时x=4，y的最大值为6；
当4＜x≤8时，PM与PN分别交BC于E、F，如图，
y=S_梯形MEFN=S_△PMN-S_△PEF，
∵四边形AMPN是矩形，
∴PN=AM=x，
∵MN∥BC，
∴四边形BFNM是平行四边形，
∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-（8-x）=2x-8，
∵Rt△PEF∽Rt△ACB，
∴(S△PEF)/(S△ABC)=（(PF)/(AB)）²=（(2x−8)/(8)）²，
而S_△ABC=(1)/(2)×8×6=24，
∴S_△PEF=(3)/(2)（x-4）²，
∴y=(3)/(8)x²-(3)/(2)（x-4）²
=-(9)/(8)x²+12x-24，
=-(9)/(8)（x-(16)/(3)）²+8（4＜x≤8），
∵a=-(9)/(8)＜0，
∴当x=