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(2014•夹江县二模)在△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.设AM=x.(1)用含x的代数式表示△M
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(2014•夹江县二模)在△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.设AM=x.(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵MN∥BC,
∴△AMN∽△ABC,
∴
=
,即
=
,解得AN=
x,
∴△AMN的面积=
•x•
x=
x2,
∵四边形AMPN是矩形,
∴S=
•x•
x=
x2(0<x≤8);
(2)若P点在BC上时,
∵四边形AMPN是矩形,
∴O点为AP的中点,
而MN∥BC,
∴MN为△ABC的中位线,此时AM=4,
当0<x≤4时,y=S=
•x•
x=
x2,此时x=4,y的最大值为6;
当4<x≤8时,PM与PN分别交BC于E、F,如图,
y=S梯形MEFN=S△PMN-S△PEF,
∵四边形AMPN是矩形,
∴PN=AM=x,
∵MN∥BC,
∴四边形BFNM是平行四边形,
∴FN=BM=8-x,PF=PN-FN=x-(8-x)=2x-8,
∵Rt△PEF∽Rt△ACB,
∴
=(
)2=(
)2,
而S△ABC=
×8×6=24,
∴S△PEF=
(x-4)2,
∴y=
x2-
(x-4)2
=-
x2+12x-24,
=-
(x-
)2+8(4<x≤8),
∵a=-
<0,
∴当x=

∴△AMN∽△ABC,
∴
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
| x |
| 8 |
| AN |
| 6 |
| 3 |
| 4 |
∴△AMN的面积=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
∵四边形AMPN是矩形,
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
(2)若P点在BC上时,
∵四边形AMPN是矩形,
∴O点为AP的中点,
而MN∥BC,
∴MN为△ABC的中位线,此时AM=4,
当0<x≤4时,y=S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
当4<x≤8时,PM与PN分别交BC于E、F,如图,
y=S梯形MEFN=S△PMN-S△PEF,
∵四边形AMPN是矩形,
∴PN=AM=x,
∵MN∥BC,
∴四边形BFNM是平行四边形,
∴FN=BM=8-x,PF=PN-FN=x-(8-x)=2x-8,
∵Rt△PEF∽Rt△ACB,
∴
| S△PEF |
| S△ABC |
| PF |
| AB |
| 2x−8 |
| 8 |
而S△ABC=
| 1 |
| 2 |
∴S△PEF=
| 3 |
| 2 |
∴y=
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 2 |
=-
| 9 |
| 8 |
=-
| 9 |
| 8 |
| 16 |
| 3 |
∵a=-
| 9 |
| 8 |
∴当x=
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