函数f（x）=ax3-6ax2+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0。（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）的图象与y=f′（x）+5x+m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围；

Question

函数f（x）=ax ³ -6ax ² +3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0。
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）的图象与y= f′（x）+5x+m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围；
（3）是否存在点P，使得过点P的直线若能与曲线y=f（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）由题意得
且
∴ 即
解得 ，b=3
∴ ；
（2）由 可得


则由题意可得 有三个不相等的实根，
即 的图象与x轴有三个不同的交点，
，则g（x），g′（x）的变化情况如下表：

则函数f（x）的极大值为
极小值为
的图象与 的图象有三个不同交点，则有：

解得 ；
（3）存在点P满足条件
∵
∴
由 得 ，
当 时，
当 时，
当 时，
可知极值点为 ，
线段AB中点 在曲线 上，
且该曲线关于点 成中心对称
证明如下：∵ ，
∴ ，

∴
上式表明，若点 为曲线 上任一点，其关于 的对称点 也在曲线 上，曲线 关于点 对称
故存在点 ，使得过该点的直线若能与曲线

作业帮用户 2016-11-26

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