（2013•崂山区模拟）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学

Question

（2013•崂山区模拟）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．
将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）²或 a²+2ab+b²
∴（a+b）² =a²+2ab+b²
这就验证了两数和的完全平方公式．
（1）尝试解决：
请你类比上述方法，利用图形的几何意义推证平方差公式．
（要求自己构图并写出推证过程）

问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：1³+2³=3²？
如图2，
A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=1³
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2³
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：1³+2³=（1+2）²=3²
（2）尝试解决：
请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：1³+2³+3³=______．（要求自己构造图形并写出推证过程）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1³+2³+3³+…+n³=

(n2(n+1)2)/(4)

(n2(n+1)2)/(4)

．（要求直接写出结论，不必写出解题过程）

Answer 1

（1）尝试解决：
∵第一个图形的阴影部分的面积是a²-b²，
第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a-b），
∴a²-b²=（a+b）（a-b）．
即可以验证平方差公式的几何意义；

（2）尝试解决：
如图，A表示一个1×1的正方形，即：1×1×1=1³，
B、C、D表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2³，
E、F、G表示3个3×3的正方形，即：3×3×3=3³，
而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形，边长为：1+2+3=6，
∵S_A+S_B+S_C+S_D+S_E+S_F+S_G=S_大正方形，
∴1³+2³+3³=6²；

（3）问题拓广：
由上面表示几何图形的面积探究知，1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，
又∵1+2+3+…+n=(n(n+1))/(2)，
∴1³+2³+3³+…+n³=（(n(n+1))/(2)）²=(n2(n+1)2)/(4)．
故答案为6²；(n2(n+1)2)/(4)．