早教吧作业答案频道 -->其他-->
x,y(0,1),求证x^y+y^x>1
题目详情
x,y(0,1),求证x^y+y^x>1
▼优质解答
答案和解析
先证明引理：（伯努利不等式）(1+x)^r＞1+rx(x＞0,r＞1)
引理的证明：令f(x)=(1+x)^r-rx-1,则f'(x)=r(1+x)^(r-1)-r=r[(1+x)^(r-1)-1].∵1+x＞1,r-1＞0,∴(1+x)^(r-1)＞1^(r-1)=1,∴f'(x)＞0,即f(x)单调递增,∴f(x)＞f(0)=0,∴(1+x)^r＞1+rx(x＞0,r＞1),引理得证
回到原题,注意到y/x＞0,1/y＞1,在引理中令x取y/x,r取1/y即得(1+y/x)^(1/y)＞1+1/x＞1/x
∴1+y/x＞(1/x)^y=1/x^y＞0,∴x^y＜x/(x+y)
同理可证y^x＜y/(x+y)
两式相加即得x^y+y^x＞1
引理的证明：令f(x)=(1+x)^r-rx-1,则f'(x)=r(1+x)^(r-1)-r=r[(1+x)^(r-1)-1].∵1+x＞1,r-1＞0,∴(1+x)^(r-1)＞1^(r-1)=1,∴f'(x)＞0,即f(x)单调递增,∴f(x)＞f(0)=0,∴(1+x)^r＞1+rx(x＞0,r＞1),引理得证
回到原题,注意到y/x＞0,1/y＞1,在引理中令x取y/x,r取1/y即得(1+y/x)^(1/y)＞1+1/x＞1/x
∴1+y/x＞(1/x)^y=1/x^y＞0,∴x^y＜x/(x+y)
同理可证y^x＜y/(x+y)
两式相加即得x^y+y^x＞1
看了 x,y(0,1),求证x^y...的网友还看了以下：
1、解答题：当X=-1,Y=一分之12时,求Y³-Y分之（XY+1）（X+Y）平方除以Y³的值.2 2020-04-27 …
已知x^y=y^x，求y的导数。令F[x,y(x)]=x^y-y^x=o有两种方法，一种是求复合函 2020-05-14 …
先化简,再求值 （1）[(x-y)的平方+（x+y)(x-y)]÷2x 其中X=2010,y=20 2020-05-16 …
求几道初二数学题,各位大侠帮帮忙啊!比较大小:1+1/√2+1/√3+……+1/√2010与√20 2020-05-20 …
什么办法得知某个函数那个点不可导呀?函数y=y(x)由方程x^3-3xy^2+2y^3-32=0, 2020-06-18 …
如果实数x,y满足等式（x-3）^2+(y-3)^2=6,求y/x和x+y的最值,本人很笨的,.. 2020-06-26 …
已知函数f(x)对任意实数x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y)已知函数f(x)对任意实 2020-07-16 …
求函数y=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-100)的导数已知lnx对x求导为1/xlny=l 2020-07-16 …
1.已知集合A={y|y=|x|,x∈R},B={y|y=2-x^,x∈R},求A∩B?2.已知集 2020-07-20 …
已知y加2与x减1成正比例,且x等于3时y等于4.（1）求y与X之间的函数关系式.（5）当y等已知y 2020-11-28 …