已知点G是△ABC的重心,过点G的直线m分别交△ABC的两边AB、AC与点E、F（1）若m‖BC,则BE比AE+CF比AF等于多少（2）若不平行前面的结果还成立吗?说理由（3）m与△ABC的边AB及AC边的延长线分别交于E

Question

已知点G是△ABC的重心,过点G的直线m分别交△ABC的两边AB、AC与点E、F
（1）若m‖BC,则BE比AE+CF比AF等于多少
（2）若不平行前面的结果还成立吗?说理由
（3）m与△ABC的边AB及AC边的延长线分别交于E、F则结论（1）还成立吗？说理由

Answer 1

1、BE:AE+CF:AF=1
∵G是△ABC的重心,m‖BC
∴BE:AE=CF:AF=1/2
∴BE:AE+CF:AF=1
2、成立
取线段AB中点D,过D点做m的平行线,分别交AB的延长线和AC于O,P点；过B做AC的平行线,交OP于H点
BE：AE+CF:AF=（OE-OB）:AE+(FP+PC):AF=OE:AE-OB:AE+FP:AF+PC:AF
易得△DEF≌△DCP（ASA）
∴PC=BH
∵△OEH∽△EAF(两边平行,一边共线)
∴BH:OB=AF:AE
∴OB:AE=BE:AF=PC:AF
∴BE：AE+CF:AF=OE:AE+PC:AF
而此时,EP‖AP,G为重心,题又回到了第1题
∴BE:AE+CF:AF=1
3、成立
证明同第2题