如图，AC是矩形ABCD的对角线，O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且O的半径长为1，则BC+AB的值

Question

如图，AC是矩形ABCD的对角线， O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且 O的半径长为1，则BC+AB的值___．

Answer 1

如图所示：设圆0与BC的切点为M，连接OM．

∵BC是圆O的切线，M为切点，
∴OM⊥BC．
∴∠OMG=∠GCD=90°．
由翻折的性质可知：OG=DG．
∵OG⊥GD，
∴∠OGM+∠DGC=90°．
又∵∠MOG+∠OGM=90°，
∴∠MOG=∠DGC．
在△OMG和△GCD中，

∠OMG=∠DCG=90°

∠MOG=∠DGC

OG=DG

，
∴△OMG≌△GCD．
∴OM=GC=1．
CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．
∵AB=CD，
∴BC-AB=2．
设AB=a，则BC=a+2．
∵圆O是△ABC的内切圆，
∴AC=AB+BC-2r．
∴AC=2a．
∴(AB)/(AC)=(1)/(2)．
∴∠ACB=30°．
∴(AB)/(BC)=(√(3))/(3)，即(a)/(a+2)=(√(3))/(3)．
解得：a=√(3)+1．
∴AB=√(3)+1，BC=AB+2=√(3)+3．
所有AB+BC=4+2√(3)．
故答案为：4+2√(3)．