设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a，b＞0），R1，R2是它实轴的两个端点，l是其虚轴的一个端点．已知其一条渐近线的一个方向向量是（1，3），△lR1R2的面积是3，O为坐标原点，直线y=kx+m（k，m∈R）与

Question

设双曲线C：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a，b＞0），R₁，R₂是它实轴的两个端点，l是其虚轴的一个端点．已知其一条渐近线的一个方向向量是（1，√(3)），△lR₁R₂的面积是√(3)，O为坐标原点，直线y=kx+m（k，m∈R）与双曲线C相交于A、B两点，且

OA

⊥

OB

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求点P（k，m）的轨迹方程，并指明是何种曲线．

Answer 1

（1）由题意，渐近线的一个方向向量是（1，√(3)），∴双曲线的渐近线方程为y=±√(3)x，则有b=√(3)a，c=2a
又△lR₁R₂的面积是√(3)，故(1)/(2)×2a×b=√(3)，得a=1，b=√(3)，c=2（3分）
所以双曲线C的方程为x2−(y2)/(3)＝1．（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB：y=kx+m与双曲线x2−(y2)/(3)＝1联立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0
由题意3-k²≠0，且

△＞0

x1+x2＝(2km)/(3−k2)

x1x2＝(−m2−3)/(3−k2)

 （4分）
又由

OA

⊥

OB

知x₁x₂+y₁y₂=0
而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
所以(m2+3)/(k2−3)+k²×(m2+3)/(k2−3)+km×(2km)/(3−k2)+m²=0
化简得2m²-3k²=3①
由△＞0可得k²＜m²+3②
由①②可得2m²-3k²=3                  （6分）
故点P的轨迹方程是2y²-3x²=3（x≠±√(3)），其轨迹是双曲线       （8分）