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已知:如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点M,P,N,Q分别在AO,BO,CO,DC上,且AM=BP=CN=DQ.求证:四边形MPNQ是矩形.
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已知:如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点M,P,N,Q分别在AO,BO,CO,DC上,且AM=BP=CN=DQ.求证:四边形MPNQ是矩形.


▼优质解答
答案和解析
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°;AC=BD,AO=
AC,BO=
BD;
∴AO=BO;而AM=BP,
∴AM:AO=BP:BO,
∴MP∥AB;同理可证:QN∥CD;
∵AB∥CD,
∴MP∥QN;同理可证:MQ∥PN,
∴四边形MPNQ是平行四边形;
∵MP∥AB,PN∥BC,∠ABC=90°,
∴∠MPN=90°,
∴四边形MPNQ是矩形.
∴∠ABC=90°;AC=BD,AO=
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∴AO=BO;而AM=BP,
∴AM:AO=BP:BO,
∴MP∥AB;同理可证:QN∥CD;
∵AB∥CD,
∴MP∥QN;同理可证:MQ∥PN,
∴四边形MPNQ是平行四边形;
∵MP∥AB,PN∥BC,∠ABC=90°,
∴∠MPN=90°,
∴四边形MPNQ是矩形.
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